Se da el sistema de ecuaciones donde α es un parámetro real.
. 2x+3z = α x-2y+2z = 5 3x-y+5z = α +1 }
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado.
b) La solución del sistema cuando α =1
c) El valor de α para que el sistema tenga una solución (x, y, z) que verifique x+y+z=0 .

(a)

La matriz de los coeficientes es
( 2 0 3 1 -2 2 3 -1 5 ) y la matriz ampliada es: ( 2 0 3 α 1 -2 2 5 3 -1 5 α +1 ) Empleamos el método de Gauss, y para ello para obtener la nueva matriz, llamemos f10, f20 y f30 a las filas (ordenadas de arriba a abajo) de la matriz anterior, y f11, f21 y f31 a las filas de la nueva matriz. Hagamos f11=f10; f21=2.f20-f10; f31=2.f30-3.f10. Tenemos así: ( 2 0 3 α 0 -4 1 10- α 0 -2 1 2- α ) Continuando con el proceso, si notamos f12,f22,f32 las filas de la matriz siguiente y hacemos f12=f11, f22=f21; f32=2.f31-f21, nos queda: ( 2 0 3 α 0 -4 1 10- α 0 0 1 -6- α ) Claramente, el rango de la matriz de los coeficientes es 3, el cual es igual al rango de la matriz ampliada, y por el teorema de Rouché Frobenius concluimos que el sistema es compatible y determinado.
Es fácil hallar la solución, que depende del parámetro α . De la última matriz, deducimos al mirar las filas de abajo a arriba las siguientes ecuaciones:
z=-6- α . -4y+z=10- α . 2x+3z= α . Luego:
x=9+2 α ,y=-4,z=-6- α .
Si ponemos el resultado anterior en la forma:
x=9+2 α ,y=-4+0. α ,z=-6- α , vemos que la solución hallada nos da una recta que pasa por ( 9,-4,-6 ) , de vector director ( 2,0,-1 ) .
Cualquier valor concreto de α , a ∈ R que le demos a este parámetro en las ecuaciones del enunciado nos dará las coordenadas de un punto único de esta recta, como veremos en el punto siguiente.

(b)

Cuando α =1 , tenemos:
x=9+2 α =9+2.1=11. y=-4+0. α =-4. z=-6- α =-6-1=-7.

(c)

El valor de α para que el sistema tenga una solución (x, y, z) que verifique x+y+z=0 :
Tenemos x+y+z=9+2 α -4-6- α =9-4-6+2 α - α =-1+ α =0 , y de la última igualdad tenemos α =1.