Mediante el procedimiento estándar para hallar la función inversa de una dada, intentaremos hallar la función inversa de $y=f\left(x\right)=\frac{1+x}{2-x}$, que la denotaremos por $x=f^{-1}\left(y\right)$. Veremos en qué condiciones esta función es inversa de la dada.
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$•$ Procedimiento estándar para hallar la función inversa.
De $y=f\left(x\right)=\frac{1+x}{2-x}$ obtenemos:
$$y\left(2-x\right)=1+x$$$$2y-xy=1+x$$$$2y-1=xy+x$$$$2y-1=x\left(y+1\right)$$$$x=f^{-1}\left(y\right)=\frac{2y-1}{y+1}$$$•$ ¿Es realmente esta última función $x=f^{-1}\left(y\right)$ la inversa de $y=f\left(x\right)$?
Vamos a hacer una primera comprobación. Supongamos que $x=1$. Entonces $$y=f\left(x\right)=\frac{1+x}{2-x}=\frac{1+1}{2-1}=\frac{2}{1}=2.$$Si $f^{-1}\left(y\right)$ es la función inversa, aplicando esta función al valor de $y$ que acabamos de hallar, nos dará el valor de $x$ del que habíamos partido, $x=1$.
$$x=f^{-1}\left(y\right)=\frac{2y-1}{y+1}=\frac{2.2-1}{2+1}=\frac{3}{3}=1,$$luego acabamos de ver que para $x=1$, $f^{-1}\left(y\right)$ es la inversa de $f\left(x\right)$.

Pero aquí hay dos puntos importantes:
$•$ En primer lugar, $f\left(x\right)$ no está definida para $x=2$, pues $y=f\left(x\right)=\frac{1+x}{2-x}=\frac{1+2}{2-2}=\frac{3}{0}=\infty$, luego en $x=2$ la función $f\left(x\right)$ no tiene inversa.
$•$ En segundo lugar, si $y=-1$, $x=\frac{2y-1}{y+1}=\frac{2.\left(-1\right)-1}{-1+1}=\frac{-3}{0}=\infty$, de manera que $f^{-1}\left(y\right)$ tampoco está definida en $y=-1$.
$•$ Conclusión: $f\left(x\right)$ y $f^{-1}\left(y\right)$ son inversas una de la otra siempre que $x$ no valga $2$ e $y$ no valga $-1$.
$•$ Como una primera comprobación de esto veamos que $f^{-1}\left(f\right(x)=x$, siempre que $x$ no valga $2$. $$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=f^{-1}\left(\frac{1+x}{2-x}\right)=\frac{2\left(\frac{1+x}{2-x}\right)-1}{\left(\frac{1+x}{2-x}\right)+1}=\frac{\frac{2+2x-2+x}{2-x}}{\frac{1+x+2-x}{2-x}}$$Si $x$ no es igual a $2$, la última expresión anterior se puede simplificar, de manera que: $$\frac{\frac{2+2x-2+x}{2-x}}{\frac{1+x+2-x}{2-x}}=\frac{2+2x-2+x}{1+x+2-x}=\frac{3x}{3}=x$$$•$ Y ya sólo nos queda ver que si $y\ne -1$, $f\left(f^{-1}\left(y\right)\right)=y$. $$f\left(f^{-1}\left(y\right)\right)=f\left(\frac{2y-1}{y+1}\right)=\frac{1+\frac{2y-1}{y+1}}{2-\frac{2y-1}{y+1}}=\frac{\frac{y+1+2y-1}{y+1}}{\frac{2y+2-2y+1}{y+1}}\mathrm{.}$$Si $y\ne -1$ se cancelan las dos $y+1$ de la expresión anterior, quedando: $$\frac{\frac{y+1+2y-1}{y+1}}{\frac{2y+2-2y+1}{y+1}}=\frac{y+1+2y-1}{2y+2-2y+1}=\frac{3y}{3}=y\mathrm{.}$$