Hallaremos la derivada de la función: $y=x^x$, donde $y=f\left(x\right)$ es la función, y $x$ es la variable independiente.

Si repasamos la tabla de derivadas, no encontramos la manera de calcular esta derivada. El motivo es que la función $y=f\left(x\right)$ está definida de modo que la variable independiente $x$ es a la vez base y exponente de la función.

Si $x$ fuera sólo base, la función sería de la forma $y=x^a,$ donde $a$ sería una constante. Consultando la tabla tendríamos $y\text{'}=a{x}^{a-1}\mathrm{.}$

Si $x$ fuera sólo exponente, la función sería de la forma $y=b^x,$ donde $b$ sería una constante. De la tabla de derivadas obtendríamos $y\text{'}=b^x\cdot lnb$, en donde $ln$ representa el logaritmo neperiano (de base $e$).

Así pues, se necesita otro método para derivar esta función. Derivaremos la función $y=x^x$ de la manera siguiente:

Tomamos logaritmos a los dos lados de la igualdad anterior: $lny=ln{x}^x$. (Esto se basa en el hecho de que si tomo logaritmos a los dos miembros de una igualdad nos resulta una igualdad, de la misma manera que si hubiéramos multiplicado por 3 esa igualdad en vez de tomar logaritmos nos hubiera resultado la igualdad $3y=3x^x$).

Quedémonos ahora con la igualdad $lny=ln{x}^x$. Recordando que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base, la expresión anterior queda así: $lny=x\cdot lnx$.

Vamos ahora a derivar esta última expresión.

Derivando el lado izquierdo, este lado queda $\frac{1}{y}y\text{'},$ ya que la derivada del logaritmo de una función es uno partido por la función por la derivada de la función.

Para derivar el lado derecho tenemos que observar que éste es un producto de las funciones $x$ y $lnx\mathrm{.}$ Su derivada es $1\cdot lnx+x\cdot \frac{1}{x}=lnx+1.$

Igualando las dos derivadas a cada lado nos queda: $\frac{1}{y}y\text{'}=lnx+1$, donde $y\text{'}$ es la derivada que deseamos obtener. Así pues, despejamos $y\text{'}:$

Pero $y=x^x$ como desde el principio hemos visto, de manera que al sustituir $y$ por su valor, tenemos finalmente:

$y\text{'}=x^x\cdot lnx+x^x$, o bien: