Dada la función $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2-x}$ decir cuál es su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. Asíntotas verticales y horizontales, si existen. intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos locales y, con toda esta información, un esbozo de la representación gráfica de esta función.

Empezaremos por esto último. Un programa de representación de gráficos, en este caso el Geogebra, nos da ya una idea de todo lo que nos piden en este problema. Claro que esto no lo vamos a tener disponible cuando hagamos un examen pero el procedimiento que sigue servirá al menos para familiarizarse con la naturaleza del problema y de paso ir descubriendo cómo con las cosas que se han estudiado vamos poco a poco trabajandonos este resultado que aquí se conoce de antemano.

La función está claramente definida en los intervalos $\left(-\infty ,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$. El único punto de corte con los ejes es el $\left(0,0\right)$ como puede verse en la gráfica. Esto lo podíamos haber comprobado algebraicamente: si hacemos $x=0$ en $y=\frac{x^2}{2-x}$, nos resulta $y=\frac{0^2}{2-0}=\frac{0}{2}=0,$ luego el punto $\left(0,0\right)$ es un punto de corte. Por otra parte, si hacemos $y=0$ en $y=\frac{x^2}{2-x}$ , tenemos $0=\frac{x^2}{2-x}$. Multiplicando esta última expresión por $2-x$, tenemos $\left(2-x\right).0=0=x^2=\frac{\left(2-x\right)\cdot x^2}{\left(2-x\right)}$, de donde $x^2=0,x=0$ y como hemos supuesto que $y=0$ nos resulta de nuevo como punto de corte el $\left(0,0\right)\mathrm{.}$ No hay otro punto de corte.

Veamos las asíntotas verticales. Ya hemos visto que el punto $x=2$ es un punto en donde la función no está definida. Si al acercarse a este punto por la izquierda el valor de la función se hace infinito, entonces la recta $x=2$ es una asíntota vertical; formalmente esto se expresa así:${lim}_{x\to 2^{-}}\frac{x^2}{2-x}={lim}_{x\to 2^{-}}\frac{x^2/x^2}{2/x^2-x/x^2}={lim}_{x\to 2^{-}}\frac{1}{2/x^2-1/x}=+\infty \mathrm{.}$ Efectívamente, en el tramo donde la variable $x$ toma los valores de $0$ a $2$ sin llegar a este último, $\left(2-x\right)>0$ y, en consecuencia, $\frac{x^2}{2-x}>0$. El límite cuando $x\to 2^{-}$ es así $+\infty \mathrm{.}$

Un razonamiento similar nos permite concluir que cuando nos acercamos a $x=2$ por la derecha, el límite de la función en $x=2$ es $-\infty$.

Así pues, $x=2$ es una asíntota vertical. Esta asíntota aparece dibujada en rojo en la gráfica siguiente:

Supongamos ahora que $a\ne \infty \mathrm{.}$ La recta $y=a$ será una asíntota horizontal si ${lim}_{x\to \infty }f\left(x\right)=a\mathrm{.}$ Solo que en este caso este límite es ${lim}_{x\to \infty }\frac{x^2}{2-x}={lim}_{x\to \infty }\frac{x^2/x^2}{2/x^2-x/x^2}={lim}_{x\to \infty }\frac{1}{2/x^2-1/x}=\infty$. No hay asíntotas horizontales. Pero si no hay asíntotas horizontales, puede haber asíntotas oblícuas.

En el enunciado del problema no se pide las asíntotas oblícuas. Sin embargo como se puede adivinar por la presentación del gráfico que he hecho desde el principio sería muy interesante saber si existen para poder hacer un esbozo de la curva. (en un examen no vamos a disponer de esta presentación gráfica previa).

Veamos si la recta $y=mx+n$ es una asíntota oblícua. Los coeficientes $m$ y $n$ los calculamos así:

$m={lim}_{x\to \infty }\frac{f\left(x\right)}{x}={lim}_{x\to \infty }\frac{x^2/\left(2-x\right)}{x}={lim}_{x\to \infty }\frac{x}{2-x}={lim}_{x\to \infty }\frac{x/x}{2/x-x/x}=-1$ .

Luego existe la asíntota oblícua $y=-x-2$, la cual la dibujamos en verde en el gráfico siguiente:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Para hallar esto, derivamos la función y la igualamos a cero para hallar los puntos críticos. Sabemos que cada punto crítico puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.

Como la función no está definida en $x=2,$ de la última igualdad $\frac{4x-x^2}{(2-x{)}^2}=0$ si excluimos el valor $x=2$, podemos multiplicar ambos miembros por $(2-x{)}^2,$ para así quedarnos con la ecuación $4x-x^2=0,$ cuyas soluciones son $x=0$ y $x=4.$ Los intervalos en los que la función crece o decrece son: $\left(-\infty ,0],[0,2\right),\left(2,4],[4,+\infty \right)$.

Podemos tomar ahora un número arbitrario en cada intervalo y evaluar en este número $f\text{'}\left(x\right)$. Por comodidad en el cálculo tomamos los números $-1$ para el primer intervalo, el número $1$ para el segundo intervalo, el $3$ para el tercer intervalo y el $5$ para el cuarto. Evaluamos:

$f\text{'}\left(-1\right)=\frac{4\cdot \left(-1\right)-(-1{)}^2}{(2-(-1){)}^2}=\frac{-4-1}{3^2}=\frac{-5}{9},$ luego al ser negativo, en el primer intervalo la función decrece.

$f\text{'}\left(1\right)=\frac{4\cdot 1-1^2}{(2-1{)}^2}=\frac{3}{1}=3,$ luego al ser positivo este valor, en el segundo intervalo la función crece.

$f\text{'}\left(3\right)=\frac{4\cdot 3-3^2}{(2-3{)}^2}=\frac{12-9}{(-1{)}^2}=3>0,$ en el tercer intervalo la función también crece.

$f\text{'}\left(5\right)=\frac{4\cdot 5-5^2}{(2-5{)}^2}=\frac{20-25}{(-3{)}^2}=-\frac{5}{9}<0,$ en el cuarto intervalo la función decrece.

En $x=0$ hay un mínimo local, pues en este punto la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Para $x=0$ la función vale $f\left(0\right)=\frac{0^2}{2-0}=\frac{0}{2}=0.$ El punto $\left(0,0\right)$ es, pues, un mínimo local.

En $x=4$ hay un máximo local porque en este punto la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Para $x=4$ la función vale $f\left(4\right)=\frac{4^2}{2-4}=\frac{16}{-2}=-8.$

Con la información que tenemos, la gráfica tendería a confundirse cuando $x\to -\infty$ con la recta $y=-x-2$ bajando su trazado según el valor de la función hasta que en el punto de abscisa $0$ tomaría el valor $0.$ A partir de este valor de abscisa la función crece y su límite por la izquierda en $x=2$ es $+\infty \mathrm{.}$ El límite por la derecha de la función en $x=2$ es $-\infty$, luego en el punto $x=2$ se produce un “salto” en el valor de la función de $+\infty$ a $-\infty \mathrm{.}$ A partir de este valor de abscisa, el valor de la función va creciendo desde $-\infty$ hasta el valor $-8$ que es el que toma la función para el valor de abscisa $x=4.$ A partir de este último valor de abscisa el valor de la función va decreciendo hasta nuevamente confundirse cuando $x\to \infty$ con la recta $y=x-2$.